Question

统计部门在一次调查统计中得知，某行业在2010年末有员工30万人，假定每年退休工为上一年员工数的a%，且每年新增员工m万人（m为常数），记2010年末员工人数为b₁，以后各年末的员工人数分别为b₂，b₃，b₄…
（I）写出b₂，b₃的表达式及b_n与b_n-1的关系式；
（II）若a=6，为提高就业率，且考虑到行业规模的制约，m在什么范围内取值时能够保持员工人数逐年增加，且员工总数不超过60万人．

Answer

（I）根据每年退休工为上一年员工数的a%，且每年新增员工m万人，可求出b2，b3的表达式，观察可得bn与bn-1的关系式；
（II）由（I）得bn=0.94bn-1+m则bn-=0.94（bn-1-）（n≥2，n∈N），从而{bn-}是以30-为首项，0.94为公比的等比数列，求出bn的通项公式，当30-＜0时，数列{bn}单调递增，可求m的最小值，然后根据bn≤60恒成立，将m分离出来可求出m的最大值，从而求m的取值范围．
【解析】
（I）依题意得：b2=30（1-a%）+m
b3=b2（1-a%）+m=30（1-a%）2+m（1-a%）+m
∴bn=bn-1（1-a%）+m
（II）由（I）得bn=0.94bn-1+m
∴bn-=0.94（bn-1-）（n≥2，n∈N）
∴{bn-}是以30-为首项，0.94为公比的等比数列，
所以bn-=（30-）×0.94n-1
即bn=+（30-）×0.94n-1（n∈N）
当30-＜0时，数列{bn}单调递增，即m＞1.8
又由bn≤60得：
+（30-）×0.94n-1≤60
∴m≤=1.8+
又1.8+＞3.6
∴m≤3.6
∴m∈（1.8，3.6]时能够保持员工人数逐年增加且员工总数不超过60万人．