Question

选修4-5：不等式选讲已知实数a，b，c满足a²+2b²+3c²=24
①求a+2b+3c的最值；
②若满足题设条件的任意实数a，b，c，不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，求实数x的取值范围．

Answer

①首先分析题目已知a2+2b2+3c2=24，求a+2b+3c的最大值，考虑到柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2的应用，构造出柯西不等式求出（a+2b+3c）2的最大值开方即可得到答案．
②首先分析题目已知不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，求x的取值范围，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．由①分析得a+2b+3c的最小值，即|x+1|-14＜-1可得到答案．
【解析】
①因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=24
根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2
故有（a2+2b2+3c2）（12++（）2）≥（a+2b+3c）2
故（a+2b+3c）2≤144，即|a+2b+3c|≤12
即a+2b+3c的最大值为12，a+2b+3c的最小值为-12；
②：已知不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，即需要|x+1|-14小于a+2b+3c的最小值即可．
即|x+1|-14＜-12．解得：-2＜x+1＜2，-3＜x＜1
即：实数x的取值范围（-3，1）．