Question

已知函数
（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围．

Answer

（1）令=3，对x的范围分类进行讨论求解即可．求解本题宜分为两类，分别为x≥0时与x＜0时．
（2） 按a＞1，与0＜a＜1分两类对函数的最值进行讨论，求出最值，若最值与参数无关，则此时的a的范围即所求．
【解析】
（1）令=3
当x≥0时，方程变为a2x-3ax+2=0，解得ax=1或ax=2，可得=0或loga2
 当x＜0时，方程变为1+2=3ax，解得x=0故此类下无解．
  综上 x=0或loga2（4分）；
（2）由题设，g（x）=a|x|+2ax，x∈[-2，+∞），下分类讨论：
①若a＞1，则
（ⅰ）当x≥0时，ax≥1，g（x）=3ax，∴g（x）∈[3，+∞）
（ⅱ）-2≤x＜0时，，g（x）=a-x+2ax
∴g'（x）=-a-xlna+2axlna=
从而当即时，对∀x∈（-2，0），g'（x）＞0，
∴g（x）在[-2，0）上递增
∴g（x）∈，由此g（x）有最小值与a有关，不符合．
当即时，由g'（x）=0得
则时，g'（x）＜0；时，g'（x）＞0
∴g（x）在上递减，在上递增，∴g（x）min==
g（x）有最小值为与a无关，符合要求（6分）
②若0＜a＜1，则
（ⅰ）x≥0时，0＜ax≤1，g（x）=3ax，∴g（x）∈（0，3]
（ⅱ）-2≤x＜0时，，g（x）=a-x+2ax，
∴g'（x）=-a-xlna+2axlna=＜0，∴g（x）在[-2，0）上递减，
∴g（x）∈，由此g（x）有最大值与a有关，不符合
综上：实数a的取值范围是（6分）．