Question

如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，CB⊥平面ABB′A′，点E是棱BC的中点，AB=BC=AA′
（I）求证直线CA′∥平面AB′E；
（II）求二面角C-A′B′-B的大小；
（III）求直线CA′与平面BB′C′C所成角的大小．

Answer

（I）由直三棱的结构特征（侧面与底面垂直）结合线面垂直的性质，可得CD⊥平面PAD，进而由线面垂直的性质可得AE⊥CD，再由正三角形三线合一，结合△PAD为正三角形，E为PD中点，可得AE⊥PD，结合线面垂直的判定定理可得直线CA′∥平面AB′E；
（II）作PQ∥AB且PQ=AB，连QB、QC，易证△PAD≌△QBC，结合（1）中CD⊥平面PAD和二面角的平面角的定义，可得∠BQC是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角；
（III）作BF⊥QC，则F为QC中点，连PF，可得四边形AEFB是平行四边形，进而根据线面垂直的第二判定定理，结合AE⊥平面PDC证得BF⊥平面PDC，即∠BPF是BP与平面PDC所成的角，解三角形BPF，可得答案．
证明：（I）∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∵AE⊂平面PAD
∴AE⊥CD
又∵△PAD为正三角形，E为PD中点
∴AE⊥PD
∵PD∩DC=D
∴AE⊥平面PCD（5分）
【解析】
（II）作PQ∥AB且PQ=AB，连QB、QC可得AD=BC=BQ=AP=DP=CQ
∴△PAD≌△QBC
∵CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，CD⊥PA
∴PQ⊥BQ，PQ⊥CQ
∴∠BQC是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角
∵∠BQC=∠APD=60°
∴平面PAB与平面PDC所成二面角的大小为60°（10分）
（III）作BF⊥QC，则F为QC中点，连PF
∵
∴四边形AEFB是平行四边形，BF∥AE
∵AE⊥平面PDC
∴BF⊥平面PDC
∴∠BPF是BP与平面PDC所成的角
设PA=a，则，
则由直三角形PFB可得
∴
∴直线PB与平面PDC所成角的大小为（14分）