Question

已知数列{a_n}满足，a₁=2
（I）求证：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）
（II）求数列的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由3Sn=（n+2）an，得3Sn-1=（n+1）an-1（n≥2），二式相减得，然后利用叠乘法可求出数列{an}的通项公式，从而证得结论；
（II）将裂项得，然后进行求和即可；
（III）令，可求出满足条件的n，从而得到集合M．
证明：（I）由3Sn=（n+2）an
得3Sn-1=（n+1）an-1（n≥2）
二式相减得3an=（n+2）an-（n+1）an-1
∴（n-1）an=（n+1）an-1
∴
∴
叠乘得：an=n（n+1）（n∈N*）（7分）
（II）∵
∴（10分）
（III）令
得：n+1＞10，n＞9
故满足条件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N*}是一个这样的集合（12分）