Question

已知f（x）=ax³+x²+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x，y），使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（I）先求函数f（x）的导函数f′（x），由f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数知x=0为函数的一个极值点，由此列方程f′（0）=0即可解得c的值
（II）将函数f（x）的单调性，转化为函数f′（x）的零点分布问题，f（x）在[0，2]上是增函数，在[4，5]上是减函数，说明f′（x）的正零点在[2，4]内，解不等式即可
（III）假设存在点M（x，y）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，则f′（x）=3有解，而根据（II）问的计算，此方程的判别式小于零，故而无解，故此点不存在
【解析】
（I）对函数f（x）=ax3+x2+cx求导数，得，f′（x）=3ax2+2x+c
∵f（x）在[-1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数
∴函数f（x）在x=0处有极小值，
∴f′（0）=0，即3a×02+2×0+c=0
∴c=0
（II）∵f（x）=ax3+x2，∴f′（x）=3ax2+2x
令f′（x）=0，解得
∵f（x）在[0，2]上是增函数，在[4，5]上是减函数
即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零
∴x2∈[2，4]
即
∴
∴
（III）假设存在点M（x，y）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，
则f′（x）=3，即3ax2+2x-3=0，其中△=4+36a
∵
∴-12≤36a≤-6
∴△＜0∴3ax2+2x-3=0无实数根
∴f′（x）=3不成立
∴不存在点M（x，y）使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3．