Question

在数列{a_n}中，若存在非零整数T，使得a_m+T=a_m对于任意的正整数m均成立，那么称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．若数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列的前2010项的和是（ ）
A．669
B．670
C．1339
D．1340

Answer

题目中给出了新名词，首先要弄清题意中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期情况分类讨论，从而将a值确定，进而将数列的前2 010项和确定．
【解析】
若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，
该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列；
若其最小周期为2，则有a3=a1，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，…，由此可见，此时它并不是以2为周期的数列．
综上所述，当数列{xn}的周期最小时，其最小周期是3，a=1，又2 010=3×670，
故此时该数列的前2 010项和是670×（1+1+0）=1340．
故答案为D．