Question

设数列{a_n}、{b_n} 满足a₁=，2na_n+1=（n+1）a_n且b_n=ln（1+a_n）+a_n²，n∈N^*．
（I）求数列{a_n} 的通项公式；
（II）对一切n∈N^*，证明成立．

Answer

（I）根据条件可知，则数列{}是以=为首项，以为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出所求；
（II）欲证即证2bn＜an2+2an，即证bn-an2=ln（1+an）＜an，构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），然后利用导数研究该函数的单调性，从而证得结论．
（Ⅰ）【解析】
∵2nan+1=（n+1）an
∴
∴数列{}是以=为首项，以为公比的等比数列  …（4分）
∴==
∴an=  …（6分）
（II）证明：⇔2bn＜an2+2an⇔2bn-an2-2an＜0
⇔bn-an2-an＜0⇔bn-an2=ln（1+an）＜an，…（9分）
构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0）
当x＞0时，f'（x）=-1=＜0  …（12分）
∴f（x）在x∈[0，+∞）内为减函数
当x＞0时，f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x）＜x（x＞0）注意到an＞0，
∴ln（1+an）＜an
∴对一切n∈N*，证明成立．       （14分）