满分5 > 高中数学试题 >

已知函数f(x)=ax(a∈R),g(x)=lnx-1. (1)若函数h(x)=...

已知函数f(x)=ax(a∈R),g(x)=lnx-1.
(1)若函数h(x)=g(x)+1-manfen5.com 满分网f(x)-2x存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)当a>0时,试讨论这两个函数图象的交点个数.
(1)先求出函数h′(x),欲使h(x)存在单调递减区间,则h′(x)<0在(0,+∞)上有解,然后利用分离法可得a>在(0,+∞)上有解,故a大于函数在(0,+∞)上的最小值即可. (2)先令F(x)=f(x)-g(x)=ax-lnx+1(a>0),函数f(x)=ax与g(x)=lnx-1的交点个数即为函数F(x)的零点的个数,利用导数研究函数F(x)的最小值,比较最小值与0的大小即可得到F(x)的零点的个数. 【解析】 (1)h(x)=lnx--2x(x>0), h′(x)=-ax-2. 若使h(x)存在单调递减区间,则h′(x)=-ax-2<0在(0,+∞)上有解. 而当x>0时,-ax-2<0⇔ax>-2⇔a>-问题转化为 a>在(0,+∞)上有解,故a大于函数在(0,+∞)上的最小值. 又=-1,在(0,+∞)上的最小值为-1,所以a>-1. (2)令F(x)=f(x)-g(x)=ax-lnx+1(a>0) 函数f(x)=ax与g(x)=lnx-1的交点个数即为函数F(x)的零点的个数. F′(x)=a-(x>0) 令F(x)=a-=0解得x=. 随着x的变化,F(x),F(x)的变化情况如表: (7分) ①当F()=2+lna>0,即a=e-2时,F(x)恒大于0,函数F(x)无零点.(8分) ②当F()=2+lna=0,即a=e-2时,由上表,函数F(x)有且仅有一个零点. ③F()=2+lna<0,即0<a<e-2时,显然1< F(1)=a+1>0,所以F(1)F()<0•, 又F(x)在(0,)内单调递减, 所以F(x)在(0,)内有且仅有一个零点 当x>时,F(x)=ln 由指数函数y=(ea)x(ea>1)与幂函数y=x增长速度的快慢,知存在x> 使得从而F(x)=ln 因而F()•F(x<0) 又F(x)在(,+∞)内单调递增, F(x)在[,+∞)上的图象是连续不断的曲线, 所以F(x)在(,+∞)内有且仅有一个零点. 因此,0<a<e-2时,F(x)有且仅有两个零点. 综上,a>e-2,f(x)与g(x)的图象无交点; 当a=e-2时,f(x)与g(x)的图象有且仅有一个交点; 0<a<e-2时,f(x)与g(x)的图象有且仅有两个交点.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足manfen5.com 满分网,并记Tn为{bn}的前n项和,求证:3Tn+1>log2(an+3),n∈N*
查看答案
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD垂直于底面ABCD,AD=PD=2,
E、F分别为CD、PB的中点.
(1)求证:EF⊥平面PAB;
(2)设manfen5.com 满分网,求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值.

manfen5.com 满分网 查看答案
袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球,其中1号球有1个,2号球有m个,3号球有n个.从袋中依次摸出2个球,已知在第一次摸出3号球的前提下,再摸出一个2号球的概率是manfen5.com 满分网
(1)求m,n的值;
(2)从袋中任意摸出2个球,设得到小球的编号数之和为ξ,求随机变量ξ的分布列和 数学期望Eξ.
查看答案
已知向量manfen5.com 满分网
(1)若manfen5.com 满分网,求x的值;
(2)函数f(x)=manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网+|manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网|2,若c>f(x)恒成立,求实数c的取值范围.
查看答案
若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距离为manfen5.com 满分网,则直线l的斜率的取值区间为    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.