Question

抛物线D以双曲线C：8y²-8x²=1的焦点F（0，c），（c＞0）为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线l：y=x-1上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer

（1）由题意，求出c值，从而得出，最后写出抛物线D的标准方程；
（2）先设出切点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x，x-1），代入两条切线方程，得x-1=xx1-y1．x-1=xx2-y2．故直线AB的方程为x-1=xx-y，过定点（1，1）
（3）先写出直线PQ的方程y=（x-1）+1，代入抛物线方程 ，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x3，y3），N（x4，y4），要证 =，只需证明 ，即2x3x4-（1+x）（x3+x4）+2x=0，最后利用韦达定理将x3+x4和x3x4代入即可得证．
【解析】
（1）由题意，c2=．
所以，抛物线D的标准方程为x2=2y．…（3分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，x-1），
由
抛物线D在点A处的切线方程为y-y1=x1（x-x1），即y=x1x-y1．…（4分）
而A点处的切线过点P（x，x-1），所以x-1=x1x-y1，
即（x1-1）x+1-y1=0．
同理，（x2-1）x+1-y2=0．
可见，点A，B在直线（x-1）x+1-y=0上．
令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1
所以，直线AB过定点Q（1，1）…（6分）
（3）设P（x，x-1），M（x3，y3），N（x4，y4），
直线PQ的方程为y=．
由，消去y，
得x2-=0．
由韦达定理，x3+x4=．…（9分）
而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|⇔

…（12分）
将x3+x4=代入方程（*）的左边，得
（*）的左边=-
=
=0．
因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．…（14分）