Question

若函数y=f（x）满足：①对任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab；②y=f（x）图象的一条对称轴方程是x=k；③y=f（x）在区间[1，2]上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤1
B．k≥2
C．k≤2
D．k≥1

Answer

由对任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab，可求得f（0）=0，构造f（0）=f（x）+f（-x）-2x2=0可得f（x）+f（-x）=2x2，结合已知可知，f（x+k）=f（k-x），从而可得f（x）=x2-2kx，结合二次函数的性质可求k的取值范围
【解析】
对任意的a、b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）+2ab
令a=b=0可得，f（0）=2f（0），即f（0）=0
而f（0）=f（x）+f（-x）-2x2=0
∴f（x）+f（-x）=2x2①
∵y=f（x）图象的一条对称轴方程是x=k
∴f（x+k）=f（k-x）
从而可得，f（x）+f（k）+2kx=f（k）+f（-x）-2kx
即f（x）-f（-x）=-4kx②
①②联立可得，f（x）=x2-2kx；
y=f（x）=x2-2kx；在区间[1，2]上单调递增
∴k≤1
故选：A