Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若关于x的方程内有实数解，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用查两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为），由此求出函数的最小正周期，由2kπ-，k∈Z，求得x的范围，即得函数的单调递增区间．
（2）设t=f（x），根据x的范围求出f（x）∈（0，]，由题意可得方程4t2-mt+1=0在t∈（0，]内有实数解，由基本不等式求得m 的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=sin（x+1=sinx=x=）…（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为8．   …（4分）
令2kπ-，k∈Z，求得 8k-≤x≤8k+，k∈z，故函数的单调递增区间为[8k-]，k∈Z…（6分）
（2）设t=f（x），∵x∈（，4），∴π），∴f（x）∈（0，]，
∴方程4t2-mt+1=0在t∈（0，]内有实数解，即当t∈（0，]时方程有实数解．  …（10分）
∵4t+时取等号，∴m≥4，…（8分） 故实数m的取值范围是[4，+∞）． …（12分）