Question

已知函数．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为1，求实数a的取值范围；（其中e为自然对数的底数）（3）若上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f'（x）=（x＞0），能推导出f（x）的单调区间．
（2）由x∈[1，e]，知当a≤1时，f'（x）≥0，故f（x）min=f（1）=a=1；当a≥e时，f'（x）≤0，推导出a=0（舍去）；当1＜a＜e时，推导出a=1（舍去）．综上所述，a=1．
（3）f（x）＜x在（1，+∞）上恒成立⇔a＜-xlnx在（1，+∞）上恒成立．，g'（x）=x-lnx-1．h（x）=x-lnx-1，h'（x）=1-．由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f'（x）=（x＞0）…（2分）
∴f'（x）＞0⇔x＞a，f'（x）＜0⇔0＜x＜a…（3分）
∴f（x）在（0，a）上单调递减，
在（a，+∞）上单调递增   …（4分）
（2）∵x∈[1，e]
∴当a≤1时，f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上单调递增，
故f（x）min=f（1）=a=1
满足题意   …（5分）
当a≥e时，f'（x）≤0，
∴⇒a=0（舍去）   …（6分）
当1＜a＜e时，由（1）知f（x）在（1，a）上单调递减，
在（a，e）上单调递增，
故f（x）min=f（a）=lna+1=1⇒a=1（舍去）  …（7分）
综上所述，a=1…（8分）
（3）f（x）＜x在（1，+∞）上恒成立⇔a＜-xlnx在（1，+∞）上恒成立…（9分）

g'（x）=x-lnx-1
令h（x）=x-lnx-1h'（x）
=1-…（10分）
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0
故h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）＞h（1）=0
，
所以a≤．…（12分）