Question

如图，A、B分别是椭圆的公共左右顶点，P、Q分别位于椭圆和双曲线上且不同于A、B的两点，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄且k₁+k₂+k₃+k₄=0．（1）求证：O、P、Q三点共线；（O为坐标原点）
（2）设F₁、F₂分别是椭圆和双曲线的右焦点，已知PF₁∥QF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer

（1）先设P（x1，y1），Q（x2，y2），由k1+k2+k3+k4=0得y1x2-y2x1=0，从而得出（x1，y1）∥（x2，y2）最后有：O、P、Q三点共线；
（2）由PF1∥QF2知|OP|：|OQ|=因为O、P、Q三点共线再结合方程思想即可求k12+k22+k32+k42的值，从而解决问题．
【解析】
（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则k1+k2+k2+k4==…（2分）
又x12-4=-4y12，x22-4=4y22所以k1+k2+k3+k4==…（4分）       
由k1+k2+k3+k4=0得y1x2-y2x1=0
即（x1，y1）∥（x2，y2）所以O、P、Q三点共线        …（6分）
（2）由PF1∥QF2知|OP|：|OQ|=
因为O、P、Q三点共线，
所以…①…（7分）              
设直线PQ的斜率为k，则…②
由①②得  k2=（9分）
又k1k2=，k3k4=…（10分）
从而k12+k22+k32+k42=（k1+k2）2+（k3+k4）2-2（k1k2+k3k4）=2（k1+k2）2=
=8…（12分）