Question

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l 上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：
（Ⅰ） 直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的余弦值．

Answer

（Ⅰ） 根据面面垂直的性质定理，可知BB1⊥α．AA1⊥β，直线AB分别与平面α，β所成角分别为∠BAB1，∠ABA1，解相关的三角形即可．
（Ⅱ）在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，证出A1E⊥平面AB1B，再过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则∠A1FE 为所求角．解三角形A1FE即可．
【解析】
（Ⅰ）如图，连接A1B，AB1，∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l，
∴AA1⊥β，BB1⊥α． 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与α和β所成的角．
Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1==．∴∠BAB1=45°．
Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，sin∠ABA1==，∴∠ABA1=30°．
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°．           
（Ⅱ）∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α．在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，
则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=．∴Rt△AA1B中，A1B===． 由AA1•A1B=A1F•AB得 A1F===，
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，∴二面角A1-AB-B1的余弦值是，