Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和s_n满足s_n+1-s_n=2n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（Ⅱ）若S₁、t（S₃+S₄）（t＞0）的等差中项不大于它们的等比中项，求t的值．

Answer

（Ⅰ）分析题意可知是由sn求an故需利用an与sn的关系：当n≥2时，an=sn-sn-1来求解同时需验证a1=1是否也满足上式．当an求出后分析它的特征然后决定采用什么方法求前n项和．
（Ⅱ）可由（1）求出S1，t（S3+S4）然后利用S1、t（S3+S4）（t＞0）的等差中项不大于它们的等比中项列出关于t 的关系式再求解即可．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2（n-1）+1=2n-1
因为a1=1也满足上式，所以数列{an}的通项公式：an=2n-1（n∈N*）
又因为an+1-an=2（n+1）-1-（2n-1）=2为定值，所以{an}为等差数列
所以数列{an}前n项和：（n∈N*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 S1=1，t（S3+S4）=25t
又由题意，得
整理，得，所以，则．