Question

如图，圆C₁：（x-a）²+y²=r²（r＞0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C₁．
（Ⅰ）求C₁和C₂的标准方程；
（Ⅱ）若点N为圆C₁上的一动点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先根据M在抛物线C2上，求出抛物线方程，进而得到C2在点M处的切线方程求出圆心的坐标，再结合M在圆C1上即可求出圆C1的标准方程；
（II）设N（x，y），表示出两个向量即可得到，再令x+y-1=t，代入圆的方程，然后利用方程有根即△≥0得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：把M（2，1）代入C2：x2=2py（p＞0），
解得p=2，
所以C2：x2=4y（2分）
由得，
所以C2在点M处的切线方程为y-1=x-2，（3分）
令y=0有x=1．
因为抛物线在点M处的切线过圆心C1，
所以圆心C1（1，0），（4分）
又因为M （2，1）在圆C1上
所以（2-1）2+1=r2，
解得r2=2，
故C1：（x-1）2+y2=2（6分）
（Ⅱ）设N（x，y），则，，
所以，（8分）
令x+y-1=t，代入（x-1）2+y2=2得（y-t）2+y2=2，
整理得2y2-2ty+t2-2=0（10分）
由△=4t2-8（t2-2）≥0得-2≤t≤2
所以的取值范围为[-2，2]．（12分）