Question

已知，在水平平面α上有一长方体AC₁绕BC旋转90°得到如图1所示的几何体．
（Ⅰ）证明：平面BCD₁A₁⊥平面BCD₂A₂；
（Ⅱ）当BC=1时，且长方体AC₁体积为4时，求四棱锥A₁-BCD₂A₂体积的最小值．

Answer

（I）欲证平面BCD1A1⊥平面BCD2A2，只需在平面BCD1A1内找一直线垂直平面BCD2A2，而A1B⊥BA2，BC⊥A1B，BC∩BA2=B，满足线面垂直的判定定理，从而A1B⊥平面BCD2A2，A1B⊂平面BCD1A1，满足面面垂直的判定定理；
（II）设AB=a，AA1=b，四棱锥A1-BCD2A2的体积为V，根据长方体AC1的体积为4，则ab=4，然后利用基本不等式求出最小值，即可求出所求，注意等号成立的条件．
证明（I）证明：∵△A1BB1≌△EBA2，
∴∠A1BB1=∠BA2E，
∵∠BA2E+∠EBA2=90°，
∴∠A1BB1+∠EBA2=90°，
即 A1B⊥BA2
又∵BC⊥A1B（2分）
∵BC∩BA2=B
∴A1B⊥平面BCD2A2，（4分）
又∵A1B⊂平面BCD1A1（5分）
∴平面BCD1A1⊥平面BCD2A2（6分）
（II）设AB=a，AA1=b，四棱锥A1-BCD2A2的体积为V，
∵长方体AC1的体积为4，
∴ab=4，（7分）
由（1）知，A1B⊥平面BCD2A2，
∴=，（10分）
当且仅当a=b=2时，等号成立，（11分）
所以四棱锥A1-BCD2A2的体积的最小值为．（12分）