Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA₁，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B₁C；
（2）求异面直线AE与A₁C所成的角；
（3）若G为C₁C中点，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer

（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；
（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1-----------------（1分）
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC-----------------（2分）
∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C----------------（3分）
∴AE⊥B1C-----------------（4分）
【解析】
（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，
∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角．----------------（6分）
设AC=AB=AA1=2，则由∠BAC=90°，
可得A1E1=AE=，A1C=2，E1C1=EC=BC=
∴E1C==
∵在△E1A1C中，cos∠E1A1C==------------------（8分）
所以异面直线AE与A1C所成的角为．------------------（9分）
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC----（10分）
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1  
∴EP⊥平面ACC1A1-------------（11分）
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．-------------（12分）
由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是-----------（13分）