Question

设椭圆C：的右、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，过A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线x-y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求△PMN面积的最大值．

Answer

（1）欲求椭圆C的离心率，只需得到关于a，c的齐次式，由，2+=0，以及b2=a2-c2，就可得到a，c的齐次式，求出椭圆C的离心率．
（2）带着参数求出过A、Q、F2三点的圆的圆心坐标以及半径，再根据圆恰好与直线x-y-3=0相切，求出参数的值，
就可得到椭圆C的方程．
（3）设直线MN的方程，欲（2）中求出的椭圆方程联立，求出y1+y2，y1y2的值，就可得到|y1-y2|，而△PMN的面积可用=|PF2|•|y1-y2|表示，再利用均值不等式求出最大值．
【解析】
（1）设Q（x，0）．∵F2（c，0），A（0，b），∴=（-c，b），=（x，-b）
∵，∴-cx-b2=0，故 x=-，
又∵2+=0，∴F1为F2Q的中点，故-2c=-+c，即，b2=3c2=a2-c2，∴e==
（2）∵e==，∴a=2c，b=c，则F2（c，0），Q（-3c，0），A（0，c）
∴△AQF2的外接圆圆心（-c，0），半径r=|F2Q|=a=2c
∴=2c，解得c=1，∴a=2，b=
椭圆C的方程为
（3）设直线MN：x=my+1，代入，得，（3m2+4）y2+6my-9=0
设M（x1，y1），n（x2，y2），∴y1+y2=-，y1y2=-，
|y1-y2|==
∴S△PMN=|PF2|•|y1-y2|=，
令=λ≥，
∴S△PMN==≤=
∴△PMN面积的最大值为，此时，m=0