Question

下面命题中正确的是    （写出所有正确  命题的编号）．①∀x∈R，e^x≥ex；②若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，则f（2）的值用二进制表示为111101；③若a＞0，b＞0，m＞0，则；④函数y=xlnx与在点（1，0）处的切线相同．

Answer

对于①用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于0，利用单调性即可证得．
对于②根据二进制表示为111101的表示主式即可进行判断；
对于③根据不等式的基本性质，比较大小的方法是做差，只需将比较的两个分式做差与零比较大小即可． -=与零比较即可求出．
对于④利用求导法则，以及（lnx）′=，求出函数解析式的导函数，然后把切点的横坐标x=1代入导函数中，求出的导函数值即为所求切线即得．
【解析】
对于①：设f（x）=ex-ex，f′（x）=ex-e，
令f′（x）＞0得x＞1，
∴函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（-∞，1]，∴f（x）＞f（1），即∀x∈R，ex≥ex
故①正确．
②二进制111101即：25+24+23+2*2+1=f（2）
故正确；
③：∵-==
∵a＞b＞0，m＞0，∴a-b＞0，a+m＞0
∴＞0
∴＞
故③正确；
④：函数y=xlnx求导得：y′=lnx+1，
把x=1代入导函数得：y′|x=1=ln1+1=1，
则所求相切得斜率为1．
 ，
 y'（1）=1
又当x=1时y=0
∴切线方程为y=x-1
切线相同，故④正确．
故答案为：①②④