Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，在四边形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=2，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥平面BCF；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer

（1）首先利用平面ABFE与平面ABCD互相垂直，结合面面垂直的性质得到AF与CB垂直，然后利用余弦定理在△ABF中计算出BF的长，从而BF2+AF2=AB2，得出AF⊥FB，最后运用直线与平面垂直的判定定理，得到AF⊥平面BCF；
（2）分别取CD、AB中点G、H，连接GH、GF和FH，将多面体分割为一个直三棱柱和一个四棱锥．然后利用（1）中的线面垂直、线线垂直关系和线段长度，分别计算出直三棱柱和四棱锥的体积，最后可求出求多面体ABCDEF的体积．
【解析】
（1）∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABFE，结合AF⊆平面ABFE，
∴AF⊥CB
在直角梯形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°AE=EF=2
∴AF=⇒∠FAB=45°
△ABF中，AB=4，根据余弦定理得：
BF=
∴BF2+AF2=AB2⇒AF⊥FB．
∵CB∩FB=B，
∴AF⊥平面BCF．…（6分）
（2）分别取CD、AB中点G、H，连接GH、GF和FH
由（1）的证明知三棱柱DAE-GHF是直三棱柱三棱柱DAE-GHF
∴V三棱柱DAE-GHF=S△AED•EF=AD•AE•EF=4
又∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
等腰Rt△AFB中，中线FH⊥AB，
∴FH⊥平面ABCD，FH是四棱锥F-BCGH的高线
∴V四棱锥F-BCGH=S矩形BCGH•FH=•GC•GH•FH=
所以多面体ABCDEF的体积V=V三棱柱DAE-GHF+V四棱锥F-BCGH=…（12分）