Question

已知函数f（x）=|x-a|-lnx．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞1时，证明：．

Answer

（1）利用a=1化简函数的表达式，对函数求出导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间．
（2）通过x＞a与0＜x＜a，分别利用函数的导数，判断出函数的单调性，求出函数的最小值，即可证明．
【解析】
（1）a=1时，
当x≥1时，
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，…（2分）
当0＜x＜1时，
∴f（x）在区间（0，1）上单调递减…（4分）
故a=1时，f（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（0，1）．…（6分）
（2）因为a＞1，所以当x≥a时，

∴f（x）在区间[a，+∞）上单调递增，…（8分）
当0＜x＜a时，
∴f（x）在区间（0，a）上单调递减…（10分）
∴，从而…（12分）