Question

已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，且对任意的n∈N^*，都有：a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n+1-b_n}是等差数列，求{b_n}的通项公式；
（3）问是否存在k（k＞3，k∈N），使得．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当n=1时，a1=8，当n≥2时a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n与原等式作差得2n-1an=8即an=24-n，验证首项，可得通项公式；
（2）根据数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，求出{bn}的前三项，得到{bn+1-bn}是以-4为首项，2为公差的等差数列，然后利用累加法可得{bn}的通项公式；
（3）假设存在k（k＞3，k∈N），使得，从而bk-ak＜1，而当k≥4时，为单调递增函数，则f（k）≥f（4）=1这与bk-ak＜1矛盾，故适合题意的自然数k不存在．
【解析】
（1）当n=1，a1=8
当n≥2时a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n①
a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8（n-1）②
①-②⇒2n-1an=8⇒an=24-n（对n=1也成立）
故an=24-n…（4分）
（2）依题b1=8，b2=4，b3=2．
∴{bn+1-bn}是以-4为首项，2为公差的等差数列．
∴bn+1-bn=2n-6
由累加法可得bn=n2-7n+14…（8分）
（3）假设存在k（k＞3，k∈N），使得
即⇒，即bk-ak＜1…（10分）
而当k≥4时，为单调递增函数，…（12分）
∴f（k）≥f（4）=1这与bk-ak＜1矛盾．故适合题意的自然数k不存在．…（14分）