Question

过直线y=x上的一点作圆x²+（y-4）²=2的两条切线L₁、L₂，当L₁与L₂关于y=x对称时，L₁与L₂的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

Answer

根据题意画出图形，由过直线y=x上点A作圆B的两条切线关于y=x对称，得到BA与y=x垂直，且∠BAD=∠BAC，根据切线性质得到∠BCA为直角，然后利用点直线的距离公式求出圆心B到直线y=x的距离即为|AB|，而|BC|为圆的半径长，根据一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角为30°，得到∠BAD=∠BAC=30°，进而求出∠CAD的度数，进而两切线的夹角．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：
由圆的方程得到圆心B（0，4），圆的半径r=|BC|=|BD|=，
根据两条切线关于y=x对称，得到BA⊥直线y=x，
所以|BA|==2，
又直线AC和直线AD都为圆B的切线，切点分别为C和D，
所以BC⊥AC，BD⊥AD，即∠BCA=∠BDA=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，BC=BD=，AB=2，
所以∠BAD=∠BAC=30°，
则∠CAD=60°，即两切线的夹角为60°．
故选C