Question

已知数列{a_n}是首项为，公比的等比数列，设，数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据等比数列的通项公式可求得an，代入求得bn+1-bn为常数，进而判断出数列{bn}是等差数列．
（2）由（1）可分别求得an和bn，进而求得Cn进而用错位相减法进行求和．
（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1-Cn结果小于0，进而判断出当n≥2时，Cn+1＜Cn，进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为≥，求得m的取值范围．
【解析】
（1）由题意知，an=（）n．
∵，
∴b1=1
∴bn+1-bn=3an+1=3an=3=3q=3
∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，an=（）n．bn=3n-2
∴Cn=（3n-2）×（）n．
∴Sn=1×+4×（）2+…+（3n-2）×（）n，
于是Sn=1×（）2+4×（）3+…（3n-2）×（）n+1，
两式相减得Sn=+3×[（）2+（）3+…+（）n）-（3n-2）×（）n+1，
=-（3n-2）×（）n+1，
∴Sn=-（）n+1
（3）∵Cn+1-Cn=（3n+1）×（）n+1-（3n-2）×（）n=9（1-n）×（）n+1，
∴当n=1时，C2=C1=
当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＜…＞Cn
∴当n=1时，Cn取最大值是
又
∴≥
即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．