Question

已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，若在x轴上存在定点E（m，0），使恒为定值，求m的值．

Answer

（I） 由题意得到 c=，tan30°==，可得b、a值，即得椭圆的方程．
（Ⅱ）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆的方程化简，得到根与系数的关系，代入  的解析式化简得   
  恒为定值，故有 ，从而解出m值．
【解析】
（I）由题意可得 c=，tan30°==，∴b=1，∴a=2，
故椭圆的方程为 ．
（Ⅱ） 设直线l的方程为 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入椭圆的方程化简可得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，
∴x1+x2=，x1•x2=．
∵=（m-x1，-y1 ）•（m-x2，-y2）=（m-x1）（m-x2）+y1y2 
=（m2+k2）+（1+k2）x1•x2-（m+k2）（x1+x2）
=（m2+k2）+（1+k2）-（m+k2）（）
=  恒为定值，
∴，
∴m=．