Question

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，已知．
（1）求S₁，S₂及S_n；
（2）设，若对一切n∈N^*，均有，求实数m的取值范围．

Answer

（1）n=1时，S1=2，n=2时，S2=6，由，知，由此能求出Sn．
（2）由Sn=n（n+1），知an=Sn-Sn-1=2n，a1=2，an=2n，n∈N+，所以．由，知数列{bn}是等比数列，由  b1+b2+…+bn=和随n的增大而增大，知 b1+b2+…+bn，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）依题意，n=1时，S1=2，n=2时，S2=6，
∵，①
n≥2时，，
∴Sn=n（n+1）（n∈N+），
（2）由（1）知Sn=n（n+1），
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，
∵a1=2，∴an=2n，n∈N+，
∴．
∵，∴数列{bn}是等比数列，
则  b1+b2+…+bn=．
∵随n的增大而增大，
∴ b1+b2+…+bn，
依条件，得，
即，∴m＜0或m≥5．