Question

已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥CD’；
（2）求直线EC与面D'BC的余弦值．

Answer

（1）由已知中矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，可得△BAE，△CDE都是等腰直角三角形，进而得到BE⊥EC，又由二面角D'-EC-B是直二面角，由面面垂直的性质可得BE⊥面D'EC，再由线面垂直的性质，可得BE⊥CD’；
（2）过E作EH⊥BD’于H，连接HC，由（1）中结论，可进一步判断出∠HCE是直线EC与平面BD'C的所成角，解Rt△ECH即可求出直线EC与平面BD'C的所成角余弦值．
【解析】
（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
即BE⊥EC
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               …（7分）
（2）过E作EH⊥BD’于H，连接HC．
∵由（1）BE⊥CD’，又ED’⊥CD’
∴CD’⊥平面BED’
∴平面BCD’⊥平面BED’又EH⊥BD’
∴EH⊥平面BCD’
∴∠HCE是直线EC与平面BD'C的所成角．…（10分）
在Rt△ECH中，
，，
∴
∴直线EC与平面BD'C的所成角余弦值为．…（14分），