Question

如图，线段AB过y轴负半轴上一点M（0，a），A、B两点到y轴距离的差为2k．
（Ⅰ）若AB所在的直线的斜率为k（k≠0），求以y轴为对称轴，且过A、O、B三点的抛物线的方程；
（Ⅱ）设（1）中所确定的抛物线为C，点M是C的焦点，若直线AB的倾斜角为60°，又点P在抛物线C上由A到B运动，试求△PAB面积的最大值．

Answer

（1）依题意设所求的抛物线方程为x2=-2py（p＞0），直线AB的方程为y=kx+a，由得x2+2pkx+2pa=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜0，x2＞0，y1＜0，y2＜0），x1+x2=-2pk，若|x1|-|x2|=2k可求p
（2）解法1：可得直线AB的方程为，解方程组可求点A，B，从而可求AB，设点P（m，n），依题意知，且，根据点P到直线AB的距离=可求面积的最大值
解法2：直线AB的方程为，由得，，x1x2=-1，
以下同法一
（1）【解析】
依题意设所求的抛物线方程为x2=-2py（p＞0），----------（1分）
∵直线AB的斜率为k且过点M（0，a）∴直线AB的方程为y=kx+a
由得x2+2pkx+2pa=0----------①------------------（3分）
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜0，x2＞0，y1＜0，y2＜0）
则x1，x2是方程①的两个实根
∴x1+x2=-2pk，若|x1|-|x2|=2k
则-x1-x2=2k，-2pk=-2k∴p=1---------------------------（5分）
若|x2|-|x1|=2k则x1+x2=-2pk=2k∴p=-1与p＞0矛盾----（6分）
∴该抛物线的方程为x2=-2y．-------（7分）
（2）解法1：抛物线x2=-2y的焦点为（）即M点坐标为（）
直线AB的斜率
∴直线AB的方程为，-----------------（8分）
解方程组得
即点A，B-------------------（10分）
∴
设点P（m，n），依题意知，且
则点P到直线AB的距离==
当时，dmax=1，--------------------------------（13分）
这时=．-----------------------（15分）
解法2：抛物线x2=-2y的焦点为（）即M点坐标为（）
直线AB的斜率
∴直线AB的方程为，
由得∴，x1x2=-1，
∴=[以下同上]