Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，，M是线段B₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求证：D₁O⊥平面AB₁C．

Answer

（Ⅰ）欲证BM∥平面D1AC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BM与平面D1AC内一直线平行，连接D1O，易证四边形D1OBM是平行四边形，则D1O∥BM，D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证D1O⊥平面AB1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证D1O与平面AB1C内两相交直线垂直，连接OB1，根据勾股定理可知OB1⊥D1O，AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，满足定理所需条件．
【解析】
（Ⅰ）连接D1O，如图，
∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BDD1B1是矩形，
∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．（3分）
∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，
∴BM∥平面D1AC．（7分）
（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，
∴，OB1=2，D1O=2，
则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．（10分）
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，
∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，
∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，
∴D1O⊥平面AB1C．（14分）