Question

已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）设，===1，所以数列为首项是2、公差是1的等差数列．
（2）由题设知，，所以an=（n+1）•2n+1．所以Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n+n．由错位相减法能够求出数列{an}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵数列为等差数列
设，
===1，（6分）
可知，数列为首项是2、公差是1的等差数列．（7分）
（2）由（1）知，，
∴an=（n+1）•2n+1．（8分）
∴Sn=（2•21+1）+（3•22+1）+…+（n•2n-1+1）+[（n+1）•2n+1]．
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n+n．
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n，①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1．②（12分）
②-①，得Tn=-2•21-（22+23++2n）+（n+1）•2n+1=n•2n+1．
∴Sn=n•2n+1+n=n•（2n+1+1）．（15分）