Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

Answer

（1）由已知得，解得，由此能得到所求椭圆的方程．
（2）由题意知F1（-1，0）、F2（1，0），①若直线l的斜率不存在，
则直线l的方程为x=-1，由得
设、，，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2），联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．再由根与系数的关系进行求解．
【解析】
（1）由已知得，
解得
∴∴所求椭圆的方程为
（ 2）由（1）得F1（-1，0）、F2（1，0）
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1，
由得
设、，
∴，这与已知相矛盾．
②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），
设M（x1，y1）、N（x2，y2），
联立，消元得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∴，
∴．
又∵
∴
∴
化简得40k4-23k2-17=0
解得k2=1或k2=（舍去）
∴k=±1
∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1