Question

若，f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f（x）]（n≥2，n∈N^*），则f（1）+f（2）+…f（2011）+f₁（1）+f₂（1）+f₃（1）…f₂₀₁₁（1）=（ ）
A．2009
B．2010
C．2011
D．1

Answer

观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到f（n）+fn（1）=+=1，从而得出结果．
【解析】
∵函数f（x）=，观察：
  f1（x）=f（x）=，
 f2（x）=f（f1（x））=，
 f3（x）=f（f2（x））=，
 f4（x）=f（f3（x））=，
…
所给的函数式的分子不变都是x，
而分母是由两部分的和组成，
第一部分的系数分别是x，2x，3x，4x…nx，
第二部分的数1
∴fn（x）=f（fn-1（x））=，
f（n）+fn（1）=+=1，
则f（1）+f（2）+…+f（2011）+f1（1）+f2（1）+f3（1）…+f2011（1）
=2011
故选C．