Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．
（1）求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数的最大值和最小值．

Answer

（1）向量的数量积，利用余弦定理求出b2+c2=32，通过基本不等式求b•c的最大值及θ的取值范围；
（2）利用二倍角的正弦函数化简函数 为一个角的三角函数的形式，通过角的范围正弦函数的最值求出函数的最大值和最小值．
解（1）bc•cosθ=8，b2+c2-2bccosθ=42即b2+c2=32…（2分）
又b2+c2≥2bc所以bc≤16，即bc的最大值为16 …（4分）
即所以 ，又0＜θ＜π所以0＜θ…（6分）
（2）=…（9分）
因0＜θ，所以＜，…（10分）
当即时，…（11分）
当即时，f（θ）max=2×1+1=3…（12分）