Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点，又PB=BC，PA=AB．
（1）求证：PC⊥平面BDE；
（2）若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；
（3）若AB=2，求三棱锥B-CED的体积．

Answer

（1）由已知，易证出BE⊥PC，DE⊥PC，所以可证PC⊥平面BDE；
（2）若点Q是线段PA上任一点，则动直线DQ形成平面PAC，考察BD和平面PAC的关系来判断BD、DQ的位置关系．
（3）利用V B-CED=S△DEC•BD可求体积．
【解析】
（1）证明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC，且DE∩BE=E，
∴PC⊥平面BDE；
（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，
∴PC⊥BD  
同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，
又PA∩PC=P，
∴BD⊥面APC，
DQ⊂面APC，
∴BD⊥DQ．
所以点Q是线段PA上任一点都有BD⊥DQ
 （3）∵PA=AB=2，
∴，
∵AB⊥BC，
∴S△ABC==2．AC=2
∴CD==，即S△DCB=S△ABC，又E是PC的中点
∴V B-CED=S△ABC•PA=．