Question

已知，数列{a_n}的前n项和为S_n，点在曲线y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n]的前n项和为T_n，且满足，b₁=1，求证：数列是等差数列，并求数列{b_n]的通项公式．

Answer

（1）由已知得出=f（an）=，且an＞0，两边平方并移向得出-=4，
判断出数列{}是等差数列后通项公式易求．
（2）由代入，计算整理，并判断出数列是等差数列．求出Tn后再求bn．
【解析】
（1）由已知，=f（an）=，且an＞0，
∴= 两边平方并移向得出-=4，
∴数列{}是等差数列首项=1公差d=4
∴=1+4（n-1）=4n-3．
∴…（6分）
（2）由，
得（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n-3）（4n+1），
∴=1，
∴数列是等差数列．…（10分）
∴，
∴Tn=4n2-3n
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=8n-7，b1=1也满足上式
∴bn=8n-7…（12分）