Question

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值，否则，说明理由；
（Ⅲ）连接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．

Answer

（Ⅰ）由题设条件能够求出c=1，b=，从而求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，由根与系数的关系推导λ1+λ2的值．
（Ⅲ）由题设条件想办法证明点在既直线lAE上，又在直线lBD上，∴当m变化时，AE与BD相交于定点．
【解析】
（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，
抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3
∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程

（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，
设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）
由
∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0
∴
又由
∴
同理
∴
∵
∴
所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）
方法1）∵
当时，=
=
∴点在直线lAE上，
同理可证，点也在直线lBD上；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点
方法2）∵
=
∴kEN=kAN∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D也三点共线；
∴当m变化时，AE与BD相交于定点．