Question

设函数的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时f（x）有极值．
（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求f（x）的所有极值．

Answer

（I）欲求实数a、b、c、d的值，利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．
【解析】
（Ⅰ）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（-x）=-f（x）
∴，∴b=0，d=0．
∴，∴f'（x）=ax2+4c．
∴，即．∴a=2，c=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴f'（x）=2x2-8=2（x2-4）．
由f（x）＞0，得x2-4＞0，∴x＞2或x＜-2．

x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - + -
f（x） ↘ 极小 ↗ 极大 ↘

∴．