Question

将圆x²+y²+2x-2y=0按向量平移到圆O，直线l与圆O相交于点P₁，P₂两点，若在圆O上存在点P₃，使，且，求直线l的方程．

Answer

先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点P3的坐标的解析式，把点P3的坐标代入圆的方程，可解得m值．
【解析】
将圆的方程x2+y2+2x-2y=0化为（x+1）2+（y-1）2=2，
∴圆x2+y2+2x-2y=0按向量 平移后得到圆x2+y2=2，
∵，又 ，
∴P1P2⊥OP3，，
∴直线l的斜率k=1，设直线l的方程为 y=x+m，
由 得 2x2+2mx+m2-2=0，△=4m2-8（m2-2）＞0，
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则 x1+x2=-m，y1+y2=m
∴=（m，n），∵点P3（m，-m）在圆上，
∴m2+（-m）2=2
解得m=±1，满足△=4m2-8（m2-2）＞0，
当 m=1时，l的方程为x-y+1=0，
当 m=-1时，l的方程为x-y-1=0．