Question

直线l₁过（1，0）点，且l₁关于直线y=x对称直线为l₂，已知点（n∈N⁺）在l₂上，a₁=1，当n≥2时，a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²．
（Ⅰ）求l₂的方程；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）设l2的方程为：y=kx+b，，由l1，l2关于直线y=x对称，及l1过点（1，0）可得l2过点（0，1），可求b
再由在直线l2上，可得，，．及可求k
（Ⅱ）由，可知是首项为，公差为1的等差数列．从而可得，利用叠乘法可求
【解析】
（Ⅰ）设l2的方程为：y=kx+b，
又l1，l2关于直线y=x对称，l1过点（1，0），∴l2过点（0，1），∴b=1．
又∵在直线l2上，取n=1，2得：，，∴．
∵an+1an-1=anan-1+an2，∴（n∈N，n≥2），
∴，∴l2的方程为y=x+1．
（Ⅱ）由，可知是首项为，公差为1的等差数列．
∵在直线l2上，∴．∴，
∴