Question

已知向量，向量，．
（1）化简f（x）的解析式，并求函数的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面积为，求的值．

Answer

（1）利用两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式化简f（x）=2sin（2x+）+2011，
由  2kπ+≤2x+≤2kπ+，且 x≠kπ，x≠kπ+，k∈z，求得减区间．
（2）由f（A）=2012，求得 A，根据△ABC的面积求出c，由余弦定理求出 a，据= 求值．
【解析】
（1）=2cos2x+sin2x+ 
=1+cos2x+sin2x+2010=2sin（2x+）+2011．
由  2kπ+≤2x+≤2kπ+，且 x≠kπ，x≠kπ+，k∈z，得 kπ+≤x≤kπ+，且x≠kπ+，
∴单调减区间为 （kπ+，kπ+）∪（kπ+，kπ+）．
（2）f（A）=2012=2sin（2A+）+2011，∴sin（2A+）=，∴A=．
又△ABC的面积为= bcsinA=•1•c•，∴c=2．
∴a==，∴===2010．