Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求证：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A1O，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，计算它们的数量积从而得到BD⊥AA1
（II）平面AA1C1C的一个法向量为n1=（1，0，0），求出平面AA1D的一个法向量n2，计算两法向量的余弦值从而得到二面角D-A1A-C的平面角的余弦值；
（III）假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设，求出平面DA1C1的法向量n3，根据法向量n3与垂直求出λ的值，从而得到点P在C1C的延长线上，且C1C=CP．
【解析】
设BD与AC交于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，
所以A1O2=AA12+AO2-2AA1•AOcos60°=3，
所以AO2+A1O2=AA12，所以A1O⊥AO．
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，所以A1O⊥平面ABCD．
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，-1，0），，C（0，1，0），，，
（I）由于，，∴BD⊥AA1
（II）由于OB⊥平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C的一个法向量为n1=（1，0，0）
设n2⊥平面AA1D，则，
设n2=（x，y，z），则
取，∴
所以，二面角D-A1A-C的平面角的余弦值为
（III）假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设，则，从而有

设n3⊥平面DA1C1，则，又
设n3=（x3，y3，z3），则，取n3=（1，0，-1）
因为BP∥平面DA1C1，则λ=0，得λ=-1
即点P在C1C的延长线上，且C1C=CP