Question

已知函数f（x）=2x+alnx．
（1）若a＜0证明：对于任意的两个正数x₁，x₂，总有≥f（）成立；
（2）若对任意的x∈[1，e]，不等式：f（x）≤（a+3）x-x²恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）将与f（）进行作差与0进行比较，利用均值不等式以及对数函数的性质可判定符号；
（2）由恒成立，转化成只要：成立，根据自变量的范围将a分离出来，利用导数研究不等式另一侧函数在闭区间上的最小值即可．
【解析】
（1）由：，
而：，
又因为：a＜0，所以：，即：成立．
（2）由恒成立，即只要：成立；
又x∈[1，e]，易知x-lnx＞0
令（x∈[1，e]），
令：，h（x）min=h（2）=2-ln2＞0，∴g′（x）＞0
所以：g（x）在x∈[1，e]上为增函数．
即：