Question

设S_n是数列a_n的前n项和，点P（a_n，S_n）（n∈N₊，n≥1）在直线y=2x-2上．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）记，数列b_n的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）设正数数列c_n满足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求数列c_n中的最大项．

Answer

（1）依题意得Sn=2an-2，则n＞1时，Sn-1=2an-1-2，an=2an-1，由此能求出an=2n．
（2）依题意，．由Tn＞2011，得，n≤1006时，n+，当n≥1007时，，由此能求出n的最小值．
（3）由已知得（cn）n+1=n+1即lncn（n+1）=ln（n+1），，由此能求出数列{cn}中的最大项．
（1）【解析】
依题意得Sn=2an-2，则n＞1时，Sn-1=2an-1-2
∴n≥2时，Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，（2分）
又n=1时，a1=2
∴数列{an}是以a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=2n．（4分）
（2）【解析】
依题意，∴
由Tn＞2011，得（6分）
n≤1006时，n+，当n≥1007时，
因此n的最小值为1007．（9分）
（3）【解析】
由已知得（cn）n+1=n+1即lncn（n+1）=ln（n+1）
∴，（11分）
令，x∈[3，+∞），则，当x≥3时，lnx＞1，即
∴当x∈[3，+∞）时，f（x）为递减函数
∴n＞2时，{cn}是减数列，（12分）
∵cn＞0，∴，，，
∴c1＜c2＞c3
∴c2为数列cn中最大项．（14分）