Question

已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D’EC的位置，使二面角D'-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥CD’；
（2）求二面角D'-BC-E的余弦值．

Answer

（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．
（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．
【解析】
（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．               
（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．
则
设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为
，
代入整理可得：
不妨取x2=l
得，
∴
∴二面角D'-BC-E的余弦值为．