Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（I）证明为定值；
（II）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．
（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和a的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=-1，
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，
判别式△=16（k2+1）＞0．
x1+x2=4k，x1x2=-4
于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y'=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x-x1）+y1，y=（）x2（x-x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo==2k，yo==-1，即M（，-1）
从而，=（，-2），（x2-x1，y2-y1）
•=（x1+x2）（x2-x1）-2（y2-y1）=（x22-x12）-2[（x22-x12）]=0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．
|FM|====．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2=（）2．
于是S=|AB||FM|=（）3，
由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．