Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点．
（I） 求证：平面B₁FC∥平面EAD；
（II）求证：BC₁⊥平面EAD．

Answer

（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；
（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．
证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF=B1E，
∴四边形AFB1E是平行四边形，
∴AE∥FB1，…（1分）
∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，
∴AE∥平面B1FC；        …（2分）
又 D，E分别是BC，BB1的中点，
∴DE∥B1C，…（3分）
∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，
∴ED∥平面B1FC；          …（4分）
∵AE∩DE=E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…（5分）
∴平面B1FC∥平面EAD．…（6分）
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，
∴C1C⊥AD．…（7分）
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，
∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…（8分）
而C1C∩BC=C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，
∴AD⊥面BCC1B1，…（9分）
故 AD⊥BC1．…（10分）∵四边形BCC1B1是菱形，
∴BC1⊥B1C，…（11分）
而DE∥B1C，故 DE⊥BC1，…（12分）
由AD∩DE=D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，
得   BC1⊥面EAD．…（13分）