Question

已知椭圆C：两个焦点之间的距离为2，且其离心率为．
（Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线与椭圆另一个交点为A，且满
足，求△ABF外接圆的方程．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：，∴，进而求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），设A（x，y），则根据题意可得：x-（y-1）=2，即x=1+y，再联立椭圆的方程可得：A（0，-1）或，进而根据圆的有关性质求出元得方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：，…（1分）
∴，
∴，…（4分）
所以椭圆C的标准方程是 ．…（5分）
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F（1，0），…（6分）
设A（x，y），则，
∵，
∴x-（y-1）=2，即x=1+y，…（8分）
代入，
得：或，
即A（0，-1）或．…（10分）
当A为（0，-1）时，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圆是以O为圆心，以1为半径的圆，该外接圆的方程为x2+y2=1；                 …（12分）
当A为时，kBF=-1，kAF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圆是以线段BA为直径的圆．
由线段BA的中点以及可得△ABF的外接圆的方程为．…（14分）
综上所述，△ABF的外接圆的方程为x2+y2=1或．