Question

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（Ⅰ） 若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求数列A₁，A；
（Ⅱ） 若数列A共有10项，则数列A₂中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（Ⅲ）若A为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…求l_k关于k的表达式．

Answer

（I）由变换T的定义“T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．”直接可得数列A1，A；
（II）数列A中连续两项相等的数对至少有10对，对于任意一个“0-1数列”A，A中每一个1在A2中对应连续四项1，0，0，1，在A中每一个0在A2中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0-1数列”A中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对；
（III）设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以lk+1=bk，Ak+1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到； ②由Ak中00得到，讨论k的奇偶可求出所求．
【解析】
（Ⅰ）由变换T的定义可得A1：0，1，1，0，0，1…（2分）A：1，0，1…（4分）
（Ⅱ） 数列A中连续两项相等的数对至少有10对                    …（5分）
证明：对于任意一个“0-1数列”A，A中每一个1在A2中对应连续四项1，0，0，1，在A中每一个0在A2中对应的连续四项为0，1，1，0，
因此，共有10项的“0-1数列”A中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对，
所以A2中至少有10对连续相等的数对．…（8分）
（Ⅲ） 设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以lk+1=bk，Ak+1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到； ②由Ak中00得到，
由变换T的定义及A：0，1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有2k+1个，
所以bk+1=lk+2k，
所以lk+2=lk+2k，
由A：0，1可得A1：1，0，0，1，A2：0，1，1，0，1，0，0，1
所以l1=1，l2=1，
当k≥3时，
若k为偶数，lk=lk-2+2k-2，lk-2=lk-4+2k-4，…l4=l2+22．
上述各式相加可得，
经检验，k=2时，也满足．
若k为奇数，lk=lk-2+2k-2lk-2=lk-4+2k-4…l3=l1+2．
上述各式相加可得，
经检验，k=1时，也满足．
所以．…（13分）